Parametrischer Oszillator (Demtröder Bd. 1, S. 405f.)

1. Unter welchen Bedingungen folgt der parametrische Fadenpendel der Mathieu'schen DGL? (Theorie und Bezeichnungen siehe unten)
2. Versuchen Sie mit Hilfe von Abb. 12.12.  (und  Abb. 12.13 für j(0)) eine stabile Lösung der Mathieu'schen DGL zu finden.
3. Versuchen Sie Abb. 12.14 a,b nachzubilden.

Ein mathematisches Fadenpendel mit fester Aufhängung aber harmonisch oszillierender Fadenlänge schwingt im Schwerefeld der Erde. Ein reales Beispiel ist das Weihrauchgefäß in Santiago di Compostella, das an einem Seil über eine ortsfeste Rolle an der Kirchendecke befestigt ist und an dessen anderem Ende fünf Männer periodisch ziehen (Hierbei ist natürlich kein Überschlagen möglich). Im Ortsraum ist die Schwingungsebene des Pendels von der Seite dargestellt. Im Phasenraumdiagramm ist die momentane Winkelgeschwindigkeit gegen den momentanen Auslenkungswinkel abgetragen. In Schwarz ist die Näherung der Mathieuschen Differentialgleichung zum Vergleich eingetragen  (Quadrat im

sraum).

Die zugehörige Differentialgleichung ergibt sich aus:   ---  (die Gleichungen bei Demtröder sind vielfach fehlerhaft) ---

m a =  F <=>   ,   mit   <=>

    , mit     und     "exakte" Lösung in Rot dargestellt.

Für kleine relative Variation der Fadenlänge  << 1  und kleine Auslenkung  zu jeder Zeit

vereinfacht sich dies  mit und :
           Näherungslösung "Mathieu" in Schwarz - im Ortsraum als Quadrat.

Mit der Substitution ergibt sich die Mathieu'sche Differentialgleichung:

 (Wie Lösung "Mathieu" im Phasenraum, jedoch um Faktor "langsamer" durchlaufen.)

Davidson